OBJETOS VIRTULES DE APRENDIZAJE - OVA
Función Lineal, Cuadrática y Volúmenes
Grado noveno de Educación Básica Secundaria

2° Versión

Carlos Alberto Rojas Hincapié,

Carlos Mario Restrepo Restrepo,

Elkin Alberto Castrillón Jiménez,

Francisco Javier Córdoba Gómez,

Héctor Javier Herrera Mejía

Jorge Cardeño
Instituto Tecnológico Metropolitano -ITM-

Fondo Editorial ITM

Medellín, Colombia

TABLA DE CONTENIDOS

PARTE I: Función lineal9

    1. Función lineal10

       1.1 Conceptos de una función14

       1.2 La función lineal18

       1.3 La función afin20

       1.4 La función constante22

       1.5. Solución de ecuaciones lineales25

       1.6. Solución de un sistema de ecuaciones lineales29

PARTE II: Función Cuadrática33

    2. Función Cuadrática34

       2.1 La función cuadrática36

       2.2 La parábola de la forma y = ax²38

       2.3 La parábola de la forma y = ax² + c42

       2.4 La parábola de la forma y = ax² + bx44

       2.5 La parábola de la forma y = ax² + bx + c48

       2.6 Solución de la ecuación cuadrática f ( x ) = ax² + bx + c54

       2.7 Aplicaciones de la función cuadrática57

PARTE III: Volúmenes61

    3. Volúmenes62

       3.1 Noción de volumen62

       3.2 Unidades de medida64

       3.3 Relaciones métricas del Ortoedro (Cubo)68

iii

Introducción

Una de las preocupaciones evidentes y bien conocidas con respecto al aprendizaje y a la enseñanza de las matemáticas en los diferentes niveles educativos, y en especial en la Educación Secundaria, tiene que ver con la baja motivación y el poco interés que sienten gran parte de los estudiantes hacia ellas. Esta situación ha conducido ineludiblemente a bajos desempeños académicos, altas tasas de reprobación y consecuentemente, un alto índice de fracaso escolar, lo cual constituye un problema de fuertes implicaciones sociales. Frente a esta situación, han sido muchas las propuestas desde la Educación Matemática y otras áreas afines a la educación en general, que se han ido construyendo como una forma de enfrentar esta situación y plantear posibles soluciones.

El trabajo que se presenta es una propuesta basada en la promoción de interacciones a partir del uso didáctico e intencionado de objetos virtuales e interactivos de aprendizaje, los cuales buscan despertar en los estudiantes la curiosidad, la acción y la discusión con sus pares, cuando en un entorno dinámico e interactivo, el estudiante se ve enfrentado a una situación matemática que debe resolver.

Se trata, en última instancia, de que los estudiantes conozcan y exploren otras formas de representación matemática, en la cual sean ellos mismos los que se arriesguen a conjeturar, plantear hipótesis, verificar y finalmente proponer soluciones en un ambiente de trabajo colaborativo y mediado por algo tan afín a ellos en la actualidad como lo son las nuevas tecnologías de información y comunicación.

Francisco J. Córdoba G.¹

7

parte i

Función Lineal

Escena interactiva 1. Exploremos el plano cartesiano

Mueve el punto rojo y observa los valores de las cordenadas.

Escena adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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11

Escena interactiva 3. Gráfica de un movimiento.

Modifica los valores de la función, oprime el botón arranque y observa el movimiento de los atletas y la gráfica de sus trayectorias.

Escena creada por Alexandra Guzman Velasquez² y adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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13

¿Que es una función?

Una función es una relación entre dos magnitudes variables, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda llamado imagen.

Escena adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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La variable que consideramos en primer lugar, " x ", se denomina variable independiente. La otra variable, " y ", se denomina variable dependiente pues su valor depende del que haya tomado la primera.

15

Ahora representamos los pares de puntos (a, P) en el plano de coordenadas. Perímetro vs lado del cuadrado, como se observa en la escena sioguiente.

Gráfica - Perímetro vs lado del cuadrado: P ( a ) = 4 · a


Escena adaptada por Hector Javier Herrera Mejia
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17

Responde:

1. ¿Qué ocurre cuando m se hace más grande?... ¿Y más pequeña?
2. ¿En qué cuadrantes se encuentra la recta cuando m es positiva? ¿Y cuando es negativa?
3. ¿Cuál es la pendiente de la recta y=2x?

Observa y analíza esta otra forma de la función:

Escena adaptada por Elkín Alberto Castrillón
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19

Escena interactiva.
Mueve el control m y b, observa y responde a las preguntas en tu cuaderno:

Escena adaptada por Carlos Mario Restrepo Restrepo
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Responde:

1. ¿Qué ocurre cuando b se hace más grande? ¿Y cuando se hace más pequeña?
2. ¿Existe algún valor de b con el que obtenemos una Función Lineal?
3. ¿Cuál es la ordenada en el origen de la función afín y = -3x-1?

21

Ejercicio

1. Relaciona cada función con su gráfica e indica además su pendiente, la ordenada en el orígen y di si se trata de un función lineal, afín o constante.
   

   a) y = -2x+1

   b) y = 0.5x-1

   c) y = -x

   d) y = -1.5


Escena adaptada por Francisco Javier Córdoba Gómez
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23

1.5 Solución de ecuaciones lineales

Iniciemos recordando la ecuación general de la recta¹ (función lineal).

La ecuación Ax + By + C = 0 donde A,B y C son números reales y A,B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ecuacion general de primer grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente.

Ecuación de la recta en forma explícita, si despejamos la variable y en la ecuación general de la recta, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

El coeficiente de la x es la pendiente m.

El término independiente b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (0, b) el punto de corte con el eje de ordenadas.

25

Escena interactiva 2.
Resolución de problemas. Observa el planteamiento de los siguientes problemas, oprime el botón más ejemplos para ver otros problemas o el botón datos diferentes para ver otros datos en el mismo problema.

Ten presente las siguientes indicaciones al resolver un problema:

• Plantear el problema en lenguaje algebraico.
• Expresar el significado que le damos a la incógnita.
• Escribir la ecuación o las ecuaciones que se generan.
• Recuerda solucionar el problema en tu cuaderno y verificar los resultados con la escena interactiva.

Escena adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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27

1.6 Solución de sistemas de ecuaciones lineales

Proponer y modelar situaciones matemáticas y no matemáticas por medio de un sistema de ecuaciones lineales; solucionar la situación y verificar e interpretar sus resultados

Escena adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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29

Ejercicio 2

Veamos la solución de un sistema de ecuaciones lineales analítica y gráficamente paso a paso, resuelve en tu cuaderno y verifica con la escena interactiva.
Mueve las flechas para dar los valores a las variables del sistema de ecuaciones

Escena adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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31

parte ii

Función Cuadrática

Escena interactiva 2.

Escena adaptada por Carlos Mario Restrepo Restrepo
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Responde:

1. ¿Cuál de las dos gráficas corresponde a una función? ¿Por qué?
2. ¿Cuál es la imagen de x=2 en cada una de las dos gráficas?

35

Escena interactiva.

En el gráfico siguiente tienes representada la parábola cuya directriz es la recta y = -1 y cuyo foco es el punto F(0,1).

Con la flecha del ratón, puedes mover el punto P a lo largo de la parábola y comprobar que la distancia de P al foco F y a la recta d es siempre la misma.

Escena adaptada por Carlos Mario Restrepo Restrepo
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37

Responde:

1. Dale valores diferentes al parámetro a y observa: ¿Qué tienen en común las parábolas con a >0? ¿Qué tienen en común las parábolas con a <0?
2. Dale valores diferentes y positivos al parámetro a, ordenados de menor a mayor. Anota lo que vas observando.
3. Dale valores diferentes y negativos al parámetro a, ordenados de menor a mayor. Anota lo que vas observando.
4. Vértice: El punto más alto o más bajo de una parábola se llama vértice de la parábola.
   ¿Cuál es el punto más bajo de las parábolas con a >0? ¿Y el de las que tienen a >0?
5. Eje de simetría: ¿Eres capaz de escribir por qué recta habría que doblar la figura anterior, para que las dos ramas queden superpuestas?
   
   Fíjate que todas estas parábolas tienen el mismo vértice:
   El origen de coordenadas es el punto O (0,0).

Date cuenta que si x = 0 entonces y = 0. Por cierto, comprueba, que todas estas parábolas cortan siempre, y en un único punto, al eje X; ese punto es el origen de coordenadas

39

Responde:

1. Varía los valores de a, y comprueba que la parábola sigue siendo simétrica. Compruébalo en la gráfica y en los valores de la tabla. Además, ubicando con puntero del ratón sobre la gráfica, puedes comprobar que los puntos de la tabla se encuentran sobre la gráfica y que, efectivamente, son simétricos.
   
2. Para terminar, conviene que escribas las respuestas y algún ejemplo en tu cuaderno de matemáticas (puedes utilizar colores diferentes.

Observa que hemos tomado valores de x que son simétricos respecto al origen que es el vértice, es decir:
x = 1, x = -1
x = 2, x = -2.

41

Responde:

1. Dale valores distintos, positivos y negativos, al parámetros, sin cambiar el valor del parámetro a, y observa qué sucede con la parábola.
2. Dale ahora valores distintos al parámetro a, sin cambiar el valor del parámetro c, y observa qué sucede con la parábola.
3. Si a>0, ¿qué ocurre con la parábola según c va siendo mayor? ¿Y si ahora es a<0?
4. Vértice: Escribe las coordenadas del vértice de varias parábolas con valores de c distintos.
   ¿Qué relación encuentras entre las coordenadas del vértice y el valor de c?
5. Corte al eje X: ¿Para qué valores, o valor de c, corta la parábola al eje X? ¿Cuál es el eje de simetría de estas parábolas?
6. ¿Cuál es el eje de simetría de estas parábolas?
7. Igual que antes hemos considerado valores de x simétricos respecto al vértice.
   Con el puntero del ratón, puedes comprobar la simetría, y también puedes verlo en la tabla de valores. Cambia los valores de a y c para comprobar las simetrías.
8. Busca cuatro parejas de puntos simétricos, en algunas de las parábolas que dibujes, y escríbelos en tu cuaderno.

43

Responde:

1. Cambia los valores al parámetro b a partir del valor inicial que, como puedes ver es 0. ¿Qué ocurre con la parábola?
2. Más en concreto: ¿qué ocurre si los valores de b son positivos? ¿y si son negativos?
3. Repite las dos cuestiones anteriores, pero cambiando previamente el valor del parámetro a, (dale valores positivos y negativos)
4. Corte con el eje X: Comprueba que, ahora, la parábola corta al eje X en dos puntos salvo cuando b = 0. Es fácil ver cuales son las coordenadas de uno de los puntos.

Recuerda ir consignando en tu cuaderno de apuntes, las respuestas desde lo que observas en el applet y algún ejemplo que te ayude a aclarar lo que vas estudiando.

Observa y piensa.

Que los puntos de corte con el eje X, al estar sobre dicho eje, deben tener su coordenada y = 0; es decir deben verificar que:

a x² + b x = 0.

Si resolvemos esta ecuación, obtendremos los valores de " x " a los que les corresponde y = 0.

Procedamos asi, sacamos factor común x y tendremos:

( a x + b ) x = 0

Una de las soluciones es x = 0, con lo cual, uno de los puntos de corte es el origen de coordenadas O (0,0).

45

Responde:

1. Comprueba que las coordenadas de los puntos de corte entre la parábola y el eje X son los que hemos obtenido. (Verifícalo para diferentes valores de a y b).
2. ¿Eres capaz de encontrar qué relación existe entre la abscisa del vértice y las abscisas de los puntos de corte con el eje X? ¿Habrás observado que la abscisa del vértice es justo el punto medio de los dos puntos de corte con el eje X; es decir es x= -b/2a?
3. Eje de simetría: Dale diferentes valores a los parámetros a y b, ¿cuál es ahora el eje de simetría?

¡RECUERDA!
Primero realiza los calculos en tu cuaderno y luego verifica tus resultados con la escena interactiva.

47

Responde:

1. Dale diferentes valores al parámetro c, ¿qué ocurre con la gráfica de la parábola al cambiar c? Anota tus observaciones.
2. Escoge los valores que quieras para los parámetros, a y b, déjalos fijos en la escena. Sin cambiar a y b, dale diferentes valores al parámetro c, ¿qué ocurre con la gráfica de la parábola? Repite los pasos anteriores varias veces.
3. Corte con el eje X: Al igual que en el caso anterior, habrás podido observar que los puntos de corte con el eje X, al estar sobre dicho eje, deben tener su coordenada
   y = 0; es decir deben verificar que y = a x² + b x + c = 0
4. Puedes variar los diferentes parámetros de la parábola e ir observando cómo y dónde están los puntos de corte con el eje X.
5. Pulsa el botón de inicio y varía los valores de c hasta que la parábola no corte al eje X. ¿Qué es lo que ocurre? (Sugerencia: anota en un tu cuaderno la ecuación de la parábola que no corta al eje X e intenta resolverla, ¿puedes?).
6. Pulsa el botón de inicio y varía los valores de c hasta que la parábola corte al eje X en un único punto. ¿Qué es lo que ocurre? (Sugerencia: Anota en un tu cuaderno la ecuación de la parábola que corta al eje X en un único punto e intenta resolverla ¿cuántas soluciones obtienes?)
7. Pulsa el botón de inicio y varía los valores de c hasta que la parábola corte al eje X en dos puntos. ¿Qué es lo que ocurre? (Sugerencia: Anota en tu cuaderno la ecuación de la parábola que corta al eje X en dos puntos e intenta resolverla ¿cuántas soluciones obtienes?)
8. Eje de simetría: Deja fijos los valores de los parámetros a y b y dale diferentes valores al parámetro c, ¿qué ocurre con el eje de simetría de estas parábolas
9. ¿Qué relación observas entre el eje de simetría de la parábola de ecuación completay el de la parábola cuando c = 0?.

49

Responde:

1. Con los valores fijos de los parámetros a y b, dale diferentes valores al parámetro c. Comprueba cuáles son las coordenadas del vértice. Haz lo mismo para valores distintos de a, b y c
2. ¿Sabrías responder qué parámetro se debe cambiar para que la parábola se traslade verticalmente?
3. ¿Y qué parámetro hace que la parábola sea más cerrada o más abierta?
4. ¿Cuál es la abscisa de todos los puntos contenidos por el eje de simetría de la parábola? ¡Anótala!

Representación gráfica de la parabola y = a x² + b x + c

Ya hemos estudiado la parábola completa paso a paso, de modo que a estas alturas, debemos conocerla bastante bien en todos sus detalles.

Parabola y = a x² + b x + c

Escena adaptada por Carlos Mario Restrepo Restrepo
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51

Detalles de la gráfica de la parábola y = a x² + b x + c

Escena diseñada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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53

Ejercicio 1

Resuelve en tu cuaderno aplicando factorización o fórmula general y verifica con la escena interactiva siguiendo las instrucciones.

1. Pulsa el botón ejercicio para generar otra ecuación. Debes indicar, sin resolverla, el número de soluciones que tiene.
2. Resuelvela en tu cuaderno.
3. Verifica la solución oprimiendo el metodo de solución mediante el botón factorizando o fórmula general, ingresas los datos.
4. Pulsa el botón verificar para ver si lo has hecho bien.

Escena diseñada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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53

2.7 Aplicaciones de la función cuadrática

Vale la pena preguntar ¿cómo se debe lanzar una pelota, para que alcance la máxima distancia horizontal?, ¿cómo se llama esta trayectoria? ¿Desde las matemáticas, cómo se puede interpretar este movimiento? Observa en las siguientes escena de la curva que se describe, la pelota lanzada verticalmente con una determinada velocidad.

Escena interactiva 1.

Escena creada por Carlos Mario Restrepo Restrepo
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57

Completa los recuadros ingresando los valores, realiza los calculos en tu cuaderno y verifica en la escena interactiva.

Escena interactiva 3.

Escena creada por Carlos Mario Restrepo Restrepo
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59

parte iii

Volumenes

Un cuerpo geométrico es una subclase de los cuerpos sólidos (materiales) cuyo volumen está delimitado por polígonos (cuerpos poliedros) o superficies curvas.

Los cuerpos geométricos se pueden clasificar como cuerpos poliedros o cuerpos redondos.

Escena interactiva
Observa las caracteristicas y forma de los siguientes cuerpos solidos, puedes rotalos.

Escena creada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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63

Escena interactiva. Escala de unidades de medida de longitud en el sistema ingles

Escena adaptada por Hector Javier Herrera Mejia
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Las unidades de volumen se utilizan para medir el espacio ocupado por los objetos que tienen tres dimensiones: ancho, alto y largo. Son unidades de medida cuya unidad básica es el metro cúbico que equivaldrá al volumen de un cubo que tiene un metro de ancho por un metro de largo y otro metro de alto.

65

Estas son las unidades más comunes en el sistema ingles: Onzas (La "onza" se usa para volumen y para peso), tazas, pintas, cuartas y galones

Escena interactiva. Otras unidades de capacidad en el sistema ingles

Escena adaptada por Hector Javier Herrera Mejia
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Escena interactiva 2
Veamos el ortoedro con cubos, realizar cálculo mental del número de piezas que componen el ortoedro y cálculo mental del volumen del ortoedro.

Modifica los controles a, b y c, verifica los cambios que se generan en la figura

Escena adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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69

Escena interactiva 4. Situación problema.
Resuelve en tu cuaderno y comprueba las soluciones en la escena interactiva³.

Con el mouse sostenido sobre el sólido puedes rotarlo y girarlo para ver mejor su forma.

Escena adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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71

Escena interactiva 1. Prisma pentagonal regular
Mediante las flechas azul y roja del botón: Despliegue, se desarrolla o construye el prisma pentagonal regular. El botón: Ver Fórmulas, muestre todas las expresiones del area.

Escena adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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73

Escena interactiva 3. Pirámide pentagonal recta
Mediante las flechas azul y roja del botón: Despliegue, se desarrolla o construye la pirámide pentagonal recta. El botón: Ver Fórmulas, muestre todas las expresiones del area.

Escena adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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Escena interactiva 2. Observar el volúmen del cubo, prisma y pirámide

Con el control de la altura(h) puedes modificar sus alturas y el botón de unidades puedes modificar las diferentes unidades de longitud y volúmen(V).

Con el mouse sostenido sobre el sólido puedes rotarlo y girarlo para ver mejor su forma.

Escena adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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77

Escena interactiva 4. Pirámides

Observa la pirámide con diferentes base y resuelve los ejercicios en tu cuaderno, verifica tus respuestas.

Escena adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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81

Responder:

1. Varia los valores del Radio y observa el cambio correspondiente en el volumen.
2. ¿Cuál es el volumen de una esfera de 2,4 cm de radio?
3. Una esfera tiene un volumen de 15,6 cm³, ¿cuánto mide su radio?.
4. Una copa de helado contiene tres bolas idénticas. Si entre las tres suman un volumen de 196,35 cm³, ¿cuál es su diámetro?.
5. ¿Cuántos decilitros (dl) de helado contenía la copa de la pregunta anterior?.

Escena interactiva 2. Exploración de otros cuerpo y superficies de la esfera.

Escena adaptada por Carlos Alberto Rojas Hincapié
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Dado el radio de una esfera determinado, calcula el área y el volúmen de esta.

Las unidades de volumen, evidentemente, dependerán de las asignadas al radio, es decir: si el radio viene expresado en centímetros (cm) el área vendrá expresada en centímetros cuadrados (cm²) y el volumen en centímetros cóbicos (cm³).

Responder:

1. ¿Cuál es el área de una esfera de 18 dm de radio?.¿Y su volumen?.
2. La cópula de una catedral es semiesférica y de 15 m de radio. Calcula su superficie y su volumen.
3. Si una esfera tiene una superficie de 803,84 cm², cuál es su volumen?.
4. Calcula el radio de un globo esférico que, cuando está lleno, contiene 57.876,48 cm³ de aire.
5. Calcula la cantidad de tejido necesaria para poder fabricar el globo de la actividad anterior.

Un balón de futbol tiene forma de esfera, observa la imagen.

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3. Completa la tabla siguiente:

Una lata de alimento tiene forma de cilindro, observa la imagen.

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Modelos de Objetos Interactivos de aprendizaje adaptados de:

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